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书  名:数论与应用
  • 作  者: 纪建
  • 出版时间: 2013-01-01
  • 出 版 社: 清华大学出版社
  • 字  数: 451 千字
  • 印  次: 1-1
  • 印  张: 19
  • 开  本: 16开
  • ISBN: 9787302303404
  • 装  帧: 平装
  • 定  价:¥36.00
电子书价:¥25.20 折扣:70折 节省:¥10.80 vip价:¥25.20 电子书大小:10.02M
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内容简介
  本书论述数论的基本内容。全书共分12章,内容包括整数的唯一分解定理、同余运算、同余方程、二次同余方程与平方剩余、不定方程、数论函数、指数和原根、素性判别、连分数与整数分解、代数数与超越数、密码学和数论的应用。书中配有较多的例题和习题,书末附有提示与解答。
  本书可作为信息安全、数论等专业的本科生教材,可供相关专业的研究人员、高等学校的教师参考,也可供数学工作者、中学数学教师和高中学生阅读。
前言
  初等数论是主要用算术方法研究整数性质的一个数论分支,它是数学中最古老的分支之一。公元前4世纪,古希腊数学家欧几里得证明了素数的个数是无穷的,并给出了求两个正整数的最大公因数的算法。我国古代的《孙子算经》中给出了解一次同余式组的算法,即著名的中国剩余定理。费马(Fermat )、欧拉(Euler)、勒让德(Legendre)、高斯(Gauss)等人的工作大大发展和丰富了初等数论的内容。特别是高斯证明了二次互反律、原根存在的充分必要条件等重要结果。这些都是通常初等数论教科书的基本内容。
  近几十年来,初等数论在计算机科学、信息安全、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域内得到广泛的应用,而且许多较深刻的结果(包括一些近代的结果)都得到了应用。作者注意到这些情形,本书除了包含通常初等数论教科书所共同具有的最基本的内容外,增加了素性判别、连分数、整数分解、代数数与超越数等内容,以及数论在现代计算机科学特别是密码学方面的主要应用,以适应不断发展的理论和应用方面的需要。
  为了比较好地满足教与学的需要,本书配有大量的、互相联系的、理论与计算并重的例题,通过这些例题和习题能更好地理解、掌握并自然地导出所讲述的概念、理论、方法与技巧。本书的习题按章安排,在书末给出了详细提示与解答,但希望学生不要在做题前就看解答,应该力争由自己独立完成。
  我们认为本书的适应面是较广的,除了数学系的大学生和研究生外,计算机科学、数字信号处理、组合数学等方面的大学生、研究生,均可作为教材和参考书。本书还可供从事上述诸方面教学和科研的人员参考。
  限于水平,本书难免有缺点和错误,请读者批评指正。
  本书的出版得到了西安电子科技大学教材建设基金的资助,张亚飞、汪柯陆、李扬和李晓媛付出了卓有成效的努力,改正了书稿中的许多笔误和疏漏,对此表示最衷心的感谢。

  编 者2011年3月于南京解放军理工大学
目录
第1章 整数的唯一分解定理 /1
1.1 归纳定理 /1
1.2 整除、素数与合数 /4
1.3 带余数除法 /8
1.4 最大公因数与最小公倍数 /11
1.5 整数的唯一分解定理 /18
1.6 辗转相除法 /21
1.7 素数定理 /24
习题1 /26
第2章 同余运算 /29
2.1 同余 /29
2.2 剩余类和完全剩余系 /34
2.3 简化剩余系与Euler函数 /38
2.4 Euler定理与Fermat定理 /42
2.5 Wilson定理 /45
2.6 整数的剩余表示 /48
习题2 /50
第3章 同余方程 /52
3.1 同余方程和一次同余方程 /52
3.2 一次同余方程组和孙子定理 /55
3.3 高次同余方程 /58
3.4 模为高次幂的同余方程 /60
3.5 模为素数的同余方程 /70
习题3 /73
第4章 二次同余方程与平方剩余 /75
4.1 一般二次同余方程 /75
4.2 模为奇素数的二次同余方程 /77
4.3 勒让德符号 /80
4.4 二次互反律 /84
4.5 雅可比符号 /89
4.6 模为奇素数的二次剩余 /93
4.7 模为合数的二次剩余 /97
习题4 /102
第5章 不定方程 /104
5.1 二元一次不定方程 /104
5.2 n元一次不定方程 /109
5.3 方程x2+y2=z2 /115
5.4 几类特殊的不定方程 /118
习题5 /122
第6章 数论函数 /124
6.1 函数[x]和{x} /124
6.2 数论函数potp(u) /128
6.3 墨比乌斯函数 /130
6.4 数论函数的狄利克雷乘积 /132
6.5 积性函数 /134
6.6 欧拉函数 /137
6.7 π(x)的估值 /140
习题6 /142
第7章 指数和原根 /145
7.1 指数 /145
7.2 原根及其存在的条件 /151
7.3 指标及n次剩余 /157
7.3.1 指标的性质 /158
7.3.2 n次剩余 /160
习题7 /162
第8章 素性判别 /164
8.1 Fermat小定理 /164
8.2 拟素数和Fermat素性判别 /165
8.3 Euler拟素数与Solovay-StaSSen判别 /167
8.4 强拟素数与Miller-Rabin判别 /169
8.5 利用n-1的因子分解的素性判别 /173
8.6 利用n+1的因子分解的素性判别 /175
8.7 基于椭圆曲线的素性判别 /177
习题8 /178
第9章 连分数与整数分解 /179
9.1 连分数的基本性质 /179
9.2 实数的连分数表示 /186
9.3 循环连分数 /190
9.4 连分数因子分解算法 /193
9.5 正整数的分解 /195
9.5.1 试除法 /195
9.5.2 Fermat方法 /195
9.5.3 Fermat方法的拓展 /196
9.5.4 勒让德方法 /196
9.5.5 Kraitchik方法(19世纪20年代) /197
9.5.6 B基数法--Brillhart-Morrison法/197
习题9 /199
第10章 代数数与超越数 /201
10.1 代数数 /201
10.2 二次代数数 /204
10.3 超越数 /207
10.4 数e的超越性 /210
10.5 数π的超越性 /212
习题10 /215
第11章 密码学 /217
11.1 仿射加密方法 /217
11.2 RSA公钥密码 /220
11.3 Diffie-Hellman体制 /224
11.4 ElGamal加密算法 /225
11.5 背包型加密方法 /226
11.6 秘密共享 /229
习题11 /230
第12章 数论的应用 /232
12.1 计算星期几 /232
12.2 循环比赛 /234
12.3 Nim游戏 /237
12.4 散列函数 /239
12.5 校验位 /242
12.6 孙子定理的应用 /244
12.6.1 文件集合的加密 /245
12.6.2 秘密共享 /246
12.7 原根的一个应用 /247
习题12 /249
习题参考答案 /251
参考文献 /295
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